viernes, 25 de noviembre de 2016

Inercia (o por qué un tubo cuadrado flexiona menos que uno redondo)

De modo que:

t = Tensión o carga
Mf = Momento de la Fuerza
C = Distancia desde el eje neutro al extremo
I= Inercia de la sección geométrica (inercia polar o segundo momento de Inercia)
Y= Módulo de Young
a = radio de la circunferencia formada

Empezamos así, presentando un par de fórmulas que nos van a solucionar muchos problemas (o también porque no, nos traerán algunos dolores de cabeza).

Esta entrada es debido a la consulta de algunos camaradas los cuales me solicitan que explique mi afirmación realizada en la entrada de la butaca, sobre el por qué un tubo cuadrado flexiona menos que uno redondo (ambos de la misma sección y del mismo material, por ende también de igual peso, podemos agregar incluso que son ambos el mismo largo).
No va a ser fácil resumir temas que se dictan al menos en un cuatrimestre en cualquier cátedra universitaria, pero trataré de hacerlo simple y acotado. De más esta decir (lo repito nuevamente por que ya lo he dicho) que yo no soy profesor, solo explico lo que entiendo.
Aclaro que no pretendo evacuar las dudas de quien no sabe absolutamente nada de esto, eso sería imposible, solo echar un poco de luz al tema.
Voy a enunciar otro Axioma con mis palabras, para evitar demostrar el enunciado:
La inercia de un cuerpo es la oposición que éste presenta a ser girado sobre un eje imaginario que pasa sobre él en algún punto.
Esta no es, por supuesto, una definición física de Inercia, es solo una idea.
Entonces si acepto esta definición como válida, tengo una conclusión: Un cuerpo que tenga mayor inercia que otro va a presentar mayor resistencia a ser curvado.
Por tanto si yo digo que un tubo de sección rectangular posee mayor inercia que un símil de sección de circunferencia, sé que el primero se va a comportar mejor cuando le aplique una fuerza. Por "mejor" quiero decir que se va a curvar menos.

El que me creyó hasta acá. Puede abandonar. El que quiere algo más, seguimos:

Considero por supuesto que el material de ambos cuerpos es el mismo, por ejemplo aluminio.
Antes de continuar quiero dejar muy en claro que esto NO significa necesariamente que yo DEBA construir íntegramente un experimental en tubos cuadrados, ya que esta forma geométrica también tiene la desventaja de concentrar los esfuerzos o las cargas producidas en los vértices, cosa que no sucede con un tubo de sección "redonda" el cual obviamente carece de vértices.
Observar como ejemplo que las ventanillas de un avión de gran porte si bien tiene los cuatro lados rectos, posee los bordes redondeados, esto evita la concentración de cargas en los vértices (por ejemplo cargas debido a presurización) que ocasionaría su rotura.

Tengo entonces una vaga idea de lo que es la Inercia polar de una sección geométrica (como ven voy agregando conceptos). No dije nada nuevo: Hablo de distinto tipo de sección por ende hablo de una figura geométrica, en este caso un rectángulo y una circunferencia.
Hablo de "polar" porque me estoy refiriendo al giro de esa figura geométrica sobre su eje que vamos a denominar como eje "Z" (en otros lados les da poner eje "X").
No es difícil imaginar que yo puedo hacer girar un tubo con la mano sobre diversos ejes del mismo y agarrándolo en cualquier punto. Cuando lo estoy intentando hacer girar sobre su eje "Z" hablo de "Inercia polar". Si observamos en la entrada de "aceros" donde se grafican las diversas fuerzas (tracción, compresión, etc.) girar el tubo sobre su eje "Z" es exactamente someterlo a flexión.
La unidad de la Inercia polar de una sección geométrica es el metro elevado a la cuarta potencia.

En un dibujo bastante pobre, intento hacer observar que en el extremo izquierdo la sección rectangular de la viga gira sobre su eje "Z". Consecuencia de que la viga se ve sometida a la acción de una fuerza que le ocasiona flexión, donde las partículas de la cara inferior sufren tracción y las partículas de la cara superior sufren compresión.
Ahora veamos otro concepto necesario: El módulo de Young


También en la entrada de aceros había un grafiquito que representaba en dos ejes la relación entre la deformación y la carga aplicada a un cuerpo. Comentaba cuál era la parte elástica, cuál la plástica, etc.

Resulta ser que la pendiente de la recta (en general se habla de "curva", pero si yo digo "pendiente" de una curva, los hortodoxos de las matemáticas me van a fusilar y con justa razón). Decía que la pendiente representa el Módulo de Young. Es ni más ni menos que la relación que existe entre la carga aplicada y la deformación.

Bien puedo no tomar un "Y0" y un "X0" ya que la recta sale del centro de coordenadas, con lo cual el módulo de Young es directamente la división entre el valor de tensión y el valor de la deformación
El módulo de Young es otro valor de tensión ya que la deformación o alargamiento no tiene unidad: Representa el largo de la pieza estirada por la acción de la fuerza que la está traccionando, menos el largo inicial, todo dividido por el largo inicial.


Tal así que si yo tuviera un tubo de longitud de 100 mm que se estira por acción de una determinada carga que lo somete a tracción y lo lleva a "estirarse" a la distancia de 100,1 mm, el alargamiento sería de 0,001 (sin unidad ya que fueron simplificadas).
Y si la carga a la que fue sometido el tubo, supongamos, es de 70 Mpa (mega Pascales o Newton/mm2 que es lo mismo), entonces puedo calcular fácilmente el Módulo de young:

Ahora, si buscara en tablas, encontraría que el Aluminio posee un valor de 70.000N/mm2
Es decir que el Módulo de Young encontrado corresponde al Aluminio.
Si poseo algún vago conocimiento a priori, podría ya concluir otras cosas: Como el Módulo de Young es la pendiente de la recta entonces ¿Qué pasa si la recta está más acostada que la mostrada en el gráfico?....pasa que estoy hablando de un material que es MAS DÚCTIL.
Más dúctil significa de algún modo, más "blando". Significa que a igual carga, se deformará más que otro material cuya recta tuviera una pendiente mayor..

La recta que corresponde al aluminio posee menor pendiente que la correspondiente al acero, el aluminio es por tanto más dúctil y se deformará con mayor facilidad ante la misma carga, su módulo de young es tres veces menor al que corresponde para el acero (70.000 Mpa para el aluminio y 210.000 Mpa para el acero)
Momento de una fuerza:

Básica y escuetamente puedo decir que el momento de una fuerza es el producto de la fuerza aplicada por la distancia al punto desde donde se mide el momento.
Por ejemplo: Si tengo que desajustar una tuerca que se encuentra muy apretada y utilizo una pinza corta, voy a tener que realizar mucha fuerza para lograr hacerla girar. El momento producido, producto de la fuerza que hago por la longitud que va desde la mano hasta el punto donde agarra la tuerca, tiene un valor bajo.
Si lo intento con una pinza más larga, el momento producido es mayor para la misma fuerza aplicada ya que la distancia desde la mano al punto de agarre es mayor.
Cualquiera sabe que si hay algo ajustado, es preferible utilizar herramientas mas bien largas. Para la máxima fuerza que yo aplique, el momento es mayor.

De este modo se puede aseverar que en general, lo que vamos a considerar a la hora de analizar cargas, son momentos de una fuerza, ya que siempre habrán para un punto determinado de estudio, un conjunto de fuerzas actuantes a diversas distancias de ese punto en cuestión.
El problema, más que calcularlas, es SABER cuáles son esas fuerzas y dónde actúan, ya que un mal planteo del problema lleva por supuesto a conclusiones completamente erradas.
Volviendo a los momentos, la unidad estándar es el Kgm (Kilográmetro fuerza) producto de una unidad de fuerza por una unidad de distancia o el Nm (Newton metro). Aunque yo puedo utilizar también el Nmm.

ES FUNDAMENTAL PRESTAR ATENCIÓN A LAS UNIDADES UTILIZADAS.

Volvamos a una barra sometida a flexión por la acción de una fuerza, tenemos momentos producidos (el producto de esa fuerza por la distancia al punto de estudio) y agregamos un par de cositas mas:



Eje neutro:

A nosotros que estamos en la cuestión aeronáutica, nos gusta la simetría, por tanto vamos en general (por no decir "siempre") a trabajar con elementos simétricos y homogéneos.
Cuando hablamos de tracción, compresión....consecuencia de una flexión, decimos que la cara superior se comprime mientras que la inferior se tracciona, ahora, si recorremos la viga por su interior, encontramos que hay una línea imaginaria que llamaremos "eje neutro" donde no hay ni compresión ni tracción.
Trazamos esta línea y comparamos ambos dibujitos de vigas, vemos que el eje neutro intersecta al eje "Z", que era aquél eje por donde la sección geométrica gira.

Aquí lo muestro como si observáramos la viga desde su extremo. Estando acostada o parada.
El giro se produce sobre el famoso eje "Z" y el punto verde representa el eje neutro que atraviesa la viga longitudinalmente. La viga, como se ve, es simétrica respecto del eje "Z" y del punto verde que corresponde al eje neutro.
Vemos también que desde el borde de la viga flexionada podemos trazar una línea (verde, llamada "a") paralela a su lado vertical, que en algún punto se intersecta con la línea que trazaríamos desde el otro extremo. Su unión nos da un ángulo alfa y como notarán esto nos podrá indicar la curvatura del cuerpo flexionado.
También intuirán que si a la acción de una fuerza dada, el cuerpo flexiona muy muy poco, o no flexiona, ambas líneas verdes "a" se cortarían en el infinito.
La distancia de "a" me da una idea de cuánto se flexiona el cuerpo. Si la distancia es corta, el cuerpo se flexiona mucho. Si la distancia es muy larga, el cuerpo se flexiona muy poco.
Como "mucho" y "poco" es siempre relativo, después veremos a cuanto equivale "mucho"

Volviendo a observar las dos formulas del principio, habiendo dado algunos conceptos de sus variables, vamos a analizarlas un poquito; algunas de ellas serán datos siempre, como por ejemplo el módulo de Young del material al que solo tengo que buscarlo en tablas, aunque OJO CON LA MADERA!!!!.
La tensión o carga puede o no ser dato dependiendo lo que busque averiguar; si estoy trabajando con la tensión propia del material, el dato será su límite elástico (Y VUELVO A ACLARAR: OJO CON LA MADERA!!!!) sino, esta variable habrá que calcularla y compararla con el límite elástico para determinar si el material soporta o no un determinado momento de fuerza y nuevamente; OJO CON LA MADERA!!!!
El momento de la fuerza nunca es dato, ya que son las cargas aplicadas que tengo que conocer más su punto de aplicación.
También es dato la Inercia de la sección geométrica y podrán buscarla acá con solo seleccionar la figura geométrica correspondiente y otorgarle medidas. Prueben!
La distancia del radio "a" por supuesto es una variable para averiguar y "C" es la distancia desde el eje neutro al extremo de la viga (cara superior o inferior) en nuestro gráfico sería C = 50 mm. para la viga a costada o 100 mm para la viga parada.
Curiosidad: Si en el link que les pasé colocan las medidas de esta viga rectangular, notarán que su momento de inercia difiere estando la viga parada o acostada, siendo mucho mayor el momento de inercia para la viga parada. Por tanto se observa como ejemplo práctico el porqué al hacer un techo de madera las vigas van paradas y no acostadas. O lo que es lo mismo, el larguero de un ala el cual más adelante calcularemos.

MADERA!: Resulta ser que este bello material para trabajar aeronáuticamente presenta algunas particularidades, una de ellas es que su limite de rotura y su límite elástico NO son el mismo a compresión que a tracción.
Estos límites también varían enormemente dependiendo del sentido de la veta y de la humedad que posee la madera.

Ok, aclaración hecha, seguimos.
Ya nada más queda graficar todo esto con un ejemplo y para ello plantearemos un problemita simple pero bien práctico a los fines aeronáuticos:

Supongamos que estoy fabricando los pedales: Quiero saber con qué material convendría hacerlos, liviano y resistente (para variar!). Me detengo a pensar que la parte más crítica se encuentra en los tubos perpendiculares al eje de la pedalera, justo donde voy a estar pataleando encima ya que van a soportar las cargas del timón de dirección más las del viento.

Veamos como es esto:
Las allá de la criticidad del pedalín mencionado, vamos (para simplificar) a prestar atención al tubo horizontal, este tubo está bi-apoyado solo en los extremos (para la pedalera que yo confeccioné) y tiene solicitaciones de carga por el peso mismo del conjunto la cual vamos a considerar aplicada en el centro de gravedad, como todo es simétrico, decimos que la carga PESO se halla aplicada justo al medio. Por ende el tubo horizontal tenderá a flexionar.
También puedo considerar algo más de peso debido a mis piernas y las del copiloto, suponiendo que ambos las apoyemos levemente sobre los pedales, el sistema es doble comando (observen las fotos de la pedalera en una entrada anterior).


Tenemos primero que conocer la fuerza producida y en que punto se va a aplicar (yo supuse 15 Kg totales, piernitas mas peso de la pedalera). Después vamos a tener que evaluar los momentos producidos (consecuencia de esa fuerza) respecto de los apoyos y realizar la archi conocida sumatoria de Fuerzas y momentos igual a cero (este paso lo he omitido por ser muy simple de realizar).
Todo esto es para determinar el mayor momento producido, ya que con él es con quien tengo que trabajar. En este caso el resultado es de 73.575 Nmm.
Una vez obtengo el mayor momento de la fuerza producido, puedo aplicar las fórmulas.
Datos:
Yo utilicé un tubo de 25,4 mm de diámetro por 1,2 mm de pared de acero inoxidable, con esto puedo calcular el resto de las variables; sección e inercia (la inercia la puedo buscar en el enlace que les he pasado). El límite elástico del acero inoxidable es dato.


Finalmente ahora voy a calcular la tensión que le estoy generando al tubo y observo si no supera el límite elástico del material (241 Mpa)

Resulta entonces que estoy dentro de los márgenes, el tubo está cargado con 139,6 Mpa y su límite elástico es de 241 Mpa. No llega a ser el doble, pero casi; verifico que No se va a deformar por la acción de la fuerza aplicada.
Pero veamos dos detalles:
El primero: ¿Qué pasa si en vez de acero inoxidable pongo un tubo de aluminio?.
Resulta que la resistencia como ya hemos dicho antes, es la misma para el AISI 316 L que para el ALCOA 6061 T6 y el aluminio tiene la ventaja que pesa tres veces menos que el acero.
PERO el aluminio es más dúctil, su Módulo de Young es menor (también es tres veces menor al igual que el peso. Esto es solo casualidad. La fibra de carbono es muchísimo mas liviano todavía y sin embargo casi no posee ductibilidad). 
Veamos entonces como se curva uno respecto del otro.
El Módulo de Young del acero es E = 210.000 N/mm2


Esto significa que la flexión del tubo genera una curvatura, un arco de circunferencia y si trazáramos dos rectas desde sus extremos se cruzarían a....¡191m arriba! lo que implica una circunferencia de 191m de radio. Parece que la flexión del tubo no es muy apreciable a simple vista. Podría dibujarlo en CAD y observarlo mas gráficamente. Pero a priori voy a considerar esta flexión completamente despreciable.

Veamos el aluminio:


Parece ser que el aluminio quedará mucho más flexionado o curvado que el acero, pero observemos si realmente esta flexión es apreciable y por tanto si inhibe la construcción con este material:


Como verán adelante, este dibujo carece totalmente de proporción y escala, es solo para graficar la situación
Calculamos el perímetro de la circunferencia que tiene radio "a"



Pareciera que dentro de ese círculo nos entra una ciudad entera, un perímetro de 127 Km. Como dije antes, hay que prestar suma atención al cambio de unidades, es muy fácil equivocarse.
Ahora relacionemos el perímetro con la porción de arco incluido en el mismo: Los 1000 mm de tubo sometido a flexión:



Y obtenemos un resultado un poco más "visible" que nos indica finalmente que la flexión, si bien es mayor que la del acero inoxidable, también es despreciable como aquella y por tanto sería una muy buena idea utilizar aluminio 6061 T6 para construir la pedalera en lugar de acero.
Si no lo hacemos así, será por cuestiones técnicas (imposibilidad de soldar aluminio por ejemplo aunque bien se puede rediseñar para trabajar con remaches).

Vale más, a los fines de no sobredimensionar las estructuras, empezar a jugar y calcular qué sección de tubo es la adecuada para resista las carga ocasionadas y de este modo no adicionar peso sin sentido.
Sería resolver el mismo problema planteado, pero desde atrás hacia adelante.

Finalmente vamos a ver si conviene trabajar con un tuvo CILÍNDRICO o con un tubo CUADRADO del mismo material; Seguimos con aluminio. Como ya hemos calculado el cilindro, nos quedamos con estos datos y elegimos un tubo cuadrado de igual sección:


Las medidas del tubo cuadrado fueron seleccionadas arbitrariamente para lograr que el área de la sección sea la misma en ambos, como se ve, el peso tampoco varía ni la tensión que soporta cada uno, tampoco la densidad. LO QUE CAMBIA ES LA INERCIA DE AMBOS.
Entonces calculamos el radio "a" para el tubo cuadrado:


Y si lo comparamos con el tubo redondo, vemos que el valor del radio para este último caso es mayor: 7,5 m a 6,36m.
Por tanto el tubo cuadrado FLEXIONA MENOS.
Es bastante obvio que de todos modos, en ambos casos la flexión es inapreciable y por ello en la entrada de la butaca aclaré que el trabajo no quedaba inhabilitado.
Pero en lo que a mi respecta, no costaba nada hacerlo un poquito mejor, fundamentalmente para el tubo del respaldo.
Es importante también observar (y esto se lo dejo a ustedes, al que le interese) las inercias de un tubo de 25 mm de diámetro por 1,2 mm de pared respecto de un tubo de 30 mm. de diámetro por 1 mm. de pared. ¿Sus secciones son casi las mismas? ¿ Y sus inercias?...Entonces, si yo tengo ambos tubos para colocar en alguna parte de mi experimental ¿ Cual pondría?.
Muchos utilizan una determinada medida "estándar" de tubo en los aviones y simplemente cuando quieren agregar resistencia, aumentan el grosor de la pared del mismo. ¿Es correcto hacer esto?.
Prometo en próxima entrada fotos de avances y menos teoría. Saludos!